使用四探針?lè)y(cè)量方塊電阻

方塊電阻（又稱表面電阻或表面電阻率）是表征導(dǎo)電和半導(dǎo)體材料薄膜的一種常見(jiàn)電學(xué)特性。它用于衡量通過(guò)材料薄方塊的橫向電阻，即方塊相對(duì)兩邊之間的電阻。方塊電阻相較于其他電阻測(cè)量的關(guān)鍵優(yōu)勢(shì)在于，它與方塊的尺寸無(wú)關(guān)，這使得不同樣品之間的比較變得簡(jiǎn)單。

方塊電阻可通過(guò)四探針輕松測(cè)量，且在高效鈣鈦礦光電器件的制備中至關(guān)重要，這類(lèi)器件需要低方塊電阻材料來(lái)提取電荷。

一、方塊電阻的應(yīng)用

方塊電阻對(duì)于任何旨在讓電荷沿其表面（而非穿過(guò)）傳輸?shù)牟牧媳∧ざ裕际且豁?xiàng)關(guān)鍵特性。例如，薄膜器件（如鈣鈦礦太陽(yáng)能電池或有機(jī)發(fā)光二極管）需要導(dǎo)電電極，這些電極的厚度通常在納米到微米范圍內(nèi)。電荷在發(fā)光二極管器件內(nèi)的移動(dòng)過(guò)程中，電極必須橫向傳輸電荷，且需要低方塊電阻以減少傳輸過(guò)程中的損耗。當(dāng)試圖擴(kuò)大這些器件的尺寸時(shí)，這一點(diǎn)變得更為重要，因?yàn)殡姾稍诒惶崛∏靶枰陔姌O中傳輸更遠(yuǎn)的距離。

顯示電流通過(guò)電極橫向流向活性材料。電極的方塊電阻會(huì)影響到達(dá)發(fā)光二極管的電流大小，進(jìn)而影響其性能。

此外，若已知方塊電阻和材料厚度，還可計(jì)算出電阻率和電導(dǎo)率。這使得僅通過(guò)方塊電阻測(cè)量就能對(duì)材料進(jìn)行電學(xué)表征。

二、四探針?lè)y(cè)量方塊電阻

（一）基本原理

測(cè)量方塊電阻的主要技術(shù)是四探針?lè)ǎㄓ址Q開(kāi)爾文技術(shù)），該方法通過(guò)四探針儀實(shí)現(xiàn)。四探針儀由四個(gè)等間距、共線的電探針組成。

四個(gè)探針間距相等（s），與表面接觸。電流（I）通過(guò)探針1注入，通過(guò)探針4收集，同時(shí)在探針2和3之間測(cè)量電壓。

其工作原理是在外側(cè)兩個(gè)探針之間施加直流電流（I），并測(cè)量?jī)?nèi)側(cè)兩個(gè)探針之間產(chǎn)生的電壓降。

（二）方塊電阻公式

方塊電阻可通過(guò)以下公式計(jì)算：

其中，Rs 方塊電阻，ΔV 為內(nèi)側(cè)探針之間測(cè)量的電壓變化，I為外側(cè)探針之間施加的電流。方塊電阻的測(cè)量單位通常為Ω/□（歐姆/方塊），以區(qū)別于體電阻。

需要注意的是，該公式僅在以下條件下有效：

1. 被測(cè)材料的厚度不超過(guò)探針間距的40%

2. 樣品的橫向尺寸足夠大

若不滿足上述條件，則需要引入幾何校正因子，以考慮樣品的尺寸、形狀和厚度的影響。校正因子的值取決于所使用的幾何結(jié)構(gòu)。

若已知被測(cè)材料的厚度，可利用方塊電阻計(jì)算其電阻率：

其中， ρ 為電阻率， t 為材料厚度。

（三）消除接觸電阻

使用四探針?lè)ㄟM(jìn)行電學(xué)表征的主要優(yōu)勢(shì)之一是能夠消除測(cè)量中的接觸電阻和導(dǎo)線電阻。

顯示導(dǎo)線電阻 (RW)、接觸電阻(RC)和樣品電阻(RS)。箭頭表示電流流向。

施加的電流I通過(guò)外側(cè)探針進(jìn)出樣品，并在樣品中流動(dòng)。電壓表通常具有高阻抗，以避免影響被測(cè)電路，因此內(nèi)側(cè)兩個(gè)探針中無(wú)電流流過(guò)。僅測(cè)量?jī)?nèi)側(cè)探針之間的電壓，這意味著導(dǎo)線電阻（RW2 和 RW3）和接觸電阻（RC2 和RC3）不會(huì)對(duì)測(cè)量產(chǎn)生影響。因此，測(cè)量到的電壓降（ΔV）由樣品電阻（RS2）引起。這簡(jiǎn)化了方塊電阻公式，只需ΔV和施加的電流即可計(jì)算出 RS2（即方塊電阻）。

三、幾何校正因子

上述方塊電阻公式與樣品幾何形狀無(wú)關(guān)，但這僅適用于樣品尺寸顯著大于探針間距（通常尺寸為探針間距的40倍以上），且樣品厚度小于探針間距40%的情況。若不滿足這些條件，探針之間可能的電流路徑會(huì)因靠近樣品邊緣而受到限制，導(dǎo)致方塊電阻被高估。為解決這一問(wèn)題，需要基于樣品幾何結(jié)構(gòu)引入校正因子。

（一）圓形樣品

對(duì)于直徑為d的圓形樣品，在樣品中心測(cè)量時(shí)，校正因子可通過(guò)以下公式計(jì)算：

其中， s為探針間距。當(dāng)d >> s 時(shí)，該公式的值趨近于1，此時(shí)可使用未校正的公式。

（二）矩形樣品

對(duì)于矩形樣品，幾何校正因子的確定稍復(fù)雜，沒(méi)有現(xiàn)成公式，需使用經(jīng)驗(yàn)確定的校正因子表。該表中的值僅適用于探針在樣品中心接觸，且與樣品最長(zhǎng)邊（l）平行對(duì)齊的情況。

l ≥ w

例如，假設(shè)上圖中的矩形樣品長(zhǎng)邊l=20mm，短邊w=10mm，所使用探針的間距S=2mm。此時(shí)，l/w=2，w/s=5，在表中查找滿足這兩個(gè)值的校正因子，即l/w=2列和w/s=5行對(duì)應(yīng)的校正因子C=0.7887。將測(cè)量得到的方塊電阻乘以該值，即可得到樣品的正確方塊電阻。

并非所有樣品都能符合這些類(lèi)別。若遇到這種情況，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

需要注意的是，上述圓形和矩形樣品的校正因子僅適用于在樣品中心進(jìn)行的測(cè)量。若測(cè)量不在中心位置，則需要使用不同的校正因子。

（三）其他形狀和探針位置

對(duì)于不同形狀的樣品以及非中心位置的測(cè)量，需要使用其他校正因子。

若樣品形狀不規(guī)則，可考慮其更接近矩形還是圓形，然后估算該形狀能容納的樣品尺寸。

（四）厚樣品

若被測(cè)樣品的厚度大于探針間距的40%，則需要額外的校正因子。所使用的校正因子取決于樣品厚度（t）與探針間距（s）的比值，部分可能的值如下表所示：

與矩形樣品一樣，若t/s不等于表中給出的值，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

四、探針公式推導(dǎo)

為確定如何使用四探針測(cè)量薄膜的方塊電阻，需先評(píng)估一個(gè)簡(jiǎn)化場(chǎng)景。假設(shè)有一個(gè)極尖的探針與導(dǎo)電材料的半無(wú)限體積（除朝向探針的方向外，所有方向均無(wú)限延伸）接觸并注入電流（通過(guò)施加電壓）。

綠色半球是半徑為r的注入電流殼層

電流從接觸點(diǎn)向外流過(guò)同心半球形等勢(shì)殼層，每個(gè)殼層的電流密度（J）為：

其中，r為到探針的徑向距離（2πr2 為半球的表面積）。應(yīng)用歐姆定律（E = ρJ），其中每個(gè)殼層的電場(chǎng)等于殼層厚度上的電壓降，即-ΔV / Δr （該術(shù)語(yǔ)為負(fù)，因?yàn)殡妷弘Sr增大而減小），且殼層厚度趨近于零，得到以下方程：

對(duì)r到r'積分可得：

應(yīng)用當(dāng)r趨近于無(wú)窮大時(shí)V趨近于零的邊界條件，方程簡(jiǎn)化為：

現(xiàn)在假設(shè)有四個(gè)極尖的探針（標(biāo)記為1至4）與半無(wú)限導(dǎo)電材料接觸，它們共線且間距相等（s）。設(shè)置為通過(guò)探針1注入電流，由探針4收集電流。若假設(shè)每個(gè)探針具有等效邊界條件，則任意點(diǎn)的電壓等于每個(gè)探針單獨(dú)產(chǎn)生的電壓之和，即：

其中，r1和r4分別是到探針1和探針4的徑向距離。在探針2和3之間測(cè)量電壓。使用上述方程，探針2和3處的電壓分別為：

因此，探針2和3之間的電壓變化（ΔV）為：

因此，探針之間的電阻率為：

該表達(dá)式僅適用于半無(wú)限體積的情況，不適用于薄膜。但可通過(guò)類(lèi)似分析推導(dǎo)新的表達(dá)式。同樣，假設(shè)有一個(gè)極尖的探針與厚度為t的材料薄膜接觸并注入電流。

綠色圓柱是半徑為r的注入電流殼層

在這種情況下，電流從探針（通過(guò)材料）流過(guò)短圓柱形等勢(shì)殼層，每個(gè)殼層的電流密度為：

應(yīng)用與之前相同的電場(chǎng)條件（歐姆定律和殼層厚度趨近于零），每個(gè)殼層的電場(chǎng)為：

已知電阻率定義為方塊電阻乘以材料厚度，因此可代入上式得到：

對(duì)r和r'積分可得：

與之前不同，不能假設(shè)當(dāng)r趨近于無(wú)窮大時(shí)電壓趨近于零，因?yàn)闊o(wú)窮大的自然對(duì)數(shù)不為零。但這并不影響分析，因?yàn)樗奶结槣y(cè)量的是不同點(diǎn)之間的電壓差(ΔV) 。

現(xiàn)在考慮與薄膜接觸的四探針系統(tǒng)，附加條件是薄膜厚度（t）遠(yuǎn)小于探針間距（s）。對(duì)于由探針1注入電流并由探針4收集電流的情況，方程變?yōu)椋?/span>

在探針2和3處測(cè)量的電壓因此為：

因此，電壓變化為：

整理可得：

因此，通過(guò)測(cè)量?jī)?nèi)側(cè)探針之間的電壓變化和外側(cè)探針之間施加的電流，可測(cè)量樣品的方塊電阻。

五、       快速準(zhǔn)確的方塊電阻測(cè)量

Ossila四探針儀使薄膜的方塊電阻、電阻率和電導(dǎo)率測(cè)量變得快速簡(jiǎn)便。

- 可在100mΩ/□至10MΩ/□的廣泛范圍內(nèi)測(cè)量方塊電阻，實(shí)現(xiàn)對(duì)各種材料的精確表征。

- 通過(guò)平衡正負(fù)電流以消除電壓偏移來(lái)計(jì)算平均方塊電阻，顯著提高測(cè)量精度。

- 可表征直徑達(dá)6英寸（152.4mm）的大樣品。大樣品對(duì)校正因子的依賴性更小，測(cè)量更準(zhǔn)確。

- 通過(guò)PC使用免費(fèi)且直觀的Ossila方塊電阻精簡(jiǎn)軟件實(shí)現(xiàn)無(wú)縫控制。

- 為增加多功能性，可選擇Plus型號(hào)，其內(nèi)置軟件和顯示屏，無(wú)需PC即可表征樣品。